Teoría de nudos

La Teoría Topológica de Nudos es objeto de una activa investigación matemática que, a semejanza del nudo gordiano, espera todavía de la espada alejandrina capaz de asestarle el golpe definitivo.

¿Qué es un nudo?

Todos hemos vivido la experiencia de desenmarañar un trozo de cuerda o un alargo eléctrico que hace tiempo que no se usa. Al acabar tan penosa tarea hemos comprobado que, en realidad, había pocos nudos y que la mayoría de lío se resolvía estirando por ambos extremos de la cuerda, lo que nos lleva a distinguir una cuerda anudada de otra que está simplemente enredada. Supongamos que tenemos un trozo de cuerda y que le hacemos el nudo lo más sencillo posible y que, una vez realizado éste tomamos ambos extremos de la cuerda y los unimos, pero no con un nuevo nudo, porque esto sería el cuento de nunca acabar, sino pegándolos de forma que no haya manera de saber dónde está la unión. Esta es la forma de obtener un nudo en el sentido matemático del término. De hecho, a los nudos a los que se les ha conseguido aplicar algún tipo de técnica matemática para clasificarlos se les suele llamar coloquialmente domesticados, a los demás, que son muchos, se les da el nombre de salvajes. El nudo puede complicarse tanto como se quiera. La cantidad de enrevesados cruces que podamos hacer o lo larga que sea la cuerda no tienen importancia a la hora de definir el nudo. Si ahora lo colocamos con cuidado encima de una mesa habremos realizado, aunque cueste creerlo, una sofisticada operación matemática que recibe el pomposo nombre de "proyección regular del nudo sobre un plano". Si queremos tener una representación gráfica, lo que se llama un "diagrama del nudo", basta con tener en cuenta que en el punto en el que un trozo de cuerda pasa por debajo de otro, punto que se denomina un "cruce" o cruzamiento, hay que dibujar una línea discontinua.

Nudos equivalentes

Si observamos el diagrama anterior vemos que para pasar de la primera figura a la segunda basta con hacer un doblez, es decir que no necesitamos cortar la cuerda y volverla a unir, ni ese tipo de cosas que resultan tan odiosas a los ojos de un topólogo. Se dice que dos nudos son "equivalentes" si y sólo si se puede pasar de uno a otro mediante una deformación continua, doblando, estirando, etc., pero nunca cortando. Por ejemplo, entre los dos nudos siguientes no hay ninguna transformación continua que nos permita pasar de uno a otro.

Una de las hercúleas tareas que se propone la teoría de nudos es clasificarlos todos, para lo cual, lo primero que hay que decidir es cuándo dos nudos son iguales. Pero como en Matemáticas una cosa sólo puede ser igual a sí misma, se establece un criterio más amplio que es el de equivalencia. La definición rigurosa de nudos equivalentes es algo compleja y requiere de conceptos topológicos más sofisticados que los que se exponen aquí, por lo que nos quedaremos con la idea intuitiva de transformación continua que hemos expuesto antes. Según esto, las dos figuras del primer diagrama son nudos equivalentes. En realidad no hay ningún nudo, motivo por el que a la circunferencia o a cualquier nudo equivalente a ésta se le llama "nudo trivial". Aunque se puede llegar a adquirir cierta habilidad visual para distinguir nudos equivalentes, es obvio que la clasificación de nudos no es algo que pueda hacerse a ojo. No es fácil, por ejemplo, ver que todos estos nudos son diferentes.

O que estos dos son equivalentes:

¿Existe algún nudo?

Antes de emprender la ingente tarea de clasificar todos los nudos existentes, los matemáticos, que son capaces de dudar de cualquier cosa, se preguntan primero si existe realmente algún nudo, es decir, un anudamiento que no sea equivalente a un círculo. Esta cuestión la resolvió el matemático alemán Kurt F. Reidemeister (1893-1971) de forma muy ingeniosa. Lo primero que hizo fue establecer tres operaciones básicas, tres movimientos, mediante los cuales se puede hacer o deshacer un nudo, que son la torsión, la superposición y el deslizamiento y, naturalmente, los movimientos inversos de estos tres.

A partir de aquí, Reidemeister abrió la caja de los colores y cogió tres para pintar los nudos, siguiendo estrictamente las dos siguientes reglas:

1. En ningún cruce pueden aparecer sólo dos colores distintos.
2. Para colorear un nudo hay que utilizar al menos dos colores.

Cuando un nudo se puede pintar con tres colores siguiendo estas reglas se dice, haciendo un pequeño abuso de lenguaje, que se puede tricolorear. Por ejemplo, el llamado nudo en trébol se puede tricolorear, algo que no se puede hacer con el nudo trivial.

La gracia del método consiste en que la propiedad de ser tricoloreable es invariante por las transformaciones que antes hemos descrito de torsión, superposición y deslizamiento. Es decir, que es un invariante topológico que nos permite afirmar que todos los nudos tricoloreables son topológicamente equivalentes entre sí, como es el caso, por ejemplo, de los tres siguientes nudos.

Ahora ya estamos en condiciones de afirmar que por lo menos existe un anudamiento diferente del trivial.

El método de Reidemeister es ampliable a un número mayor de colores y, lo que es más interesante, puede hacer corresponder un número entero (en correspondencia con el número de colores) a una determinada clase de nudos. No es un método definitivo para poder clasificar todos los nudos posibles ya que tiene algunas limitaciones. No puede, por ejemplo, distinguir un trébol a la izquierda de uno a la derecha, ya que ambos son tricoloreables y son, sin embargo, nudos diferentes.

Clasificación de nudos

Un primer método para clasificar nudos consiste en calcular el "orden" del nudo, que es el número de veces que la cuerda se cruza consigo misma. Por este sistema se ha llegado a saber que sólo hay un nudo con $3$ cruces, $2$ con $5$, $3$ con $6$, $7$ con $7$, $21$ con $8$, $49$ con $9$ y $165$ con $10$. En 1998 se determinó, con la ayuda de potentes ordenadores, que existen un total de $1.701.936$ nudos con 16 cruces o menos.

Se entiende que al definir el orden de un nudo nos referimos al número mínimo de cruces que tiene el nudo, ya que la cuerda podría estar enredada con bucles que no fueran auténticos nudos. El primer trabajo es entonces desenredar la cuerda, algo que puede hacerse mediante los tres movimientos básicos de Reidemeister antes descritos. Y además, gracias a un teorema de los matemáticos Joel Hass y Jeffrey C. Lagarias ya podemos saber cuál es el número mínimo de pasos necesarios para desenredar una cuerda de N cruces:

$$2^{100.000.000.000·N}$$

Es decir, que tenemos garantizado que una cuerda con N cruces la podremos desenredar en menos de $2$ elevado a cien mil millones por N. Una operación que nos puede llevar un tiempo superior a la edad del Universo, pero en un número finito de pasos, que es lo que cuenta para el matemático.

Poder encontrar un criterio para clasificar nudos es lo mismo que buscar invariantes, es decir, encontrar alguna propiedad que permanezca inalterada cuando transformamos el nudo de la forma adecuada. Entre los invariantes más importantes están los polinomios. Los primeros aparecieron en 1928 y los introdujo el matemático estadounidense James W. Alexander (1888-1971). Se trata de un invariante simple que asocia un polinomio a una clase determinada de nudos equivalentes. Por ejemplo, el siguiente nudo tiene un polinomio de Alexander $x^2 – 3x + 1$.

En cambio, este otro, llamado nudo de Saboya, tiene el polinomio $x^2 – x + 1$.

Aún tratándose de un método eficaz para caracterizar nudos equivalentes tiene el serio inconveniente de que existen pares de nudos diferentes con el mismo polinomio de Alexander.

Con el tiempo, fueron apareciendo otros polinomios invariantes, como los que introdujo a principios de los sesenta J.H. Conway (1937-) con la ayuda de ordenadores, o los que estableció en 1984 el matemático neozelandés Vaugham Jones (1952-), capaces de distinguir entre el nudo en trébol a la izquierda o a la derecha. Estos polinomios se caracterizan respectivamente por $x + x^3 – x^4$ y $x^{-1} + x^{-3} – x^{-4}$.

Existen pues varios criterios matemáticos para la clasificación de nudos, pero ninguno de ellos es completo, en el sentido de que consiga una clasificación general de todos los nudos posibles. El asunto de la clasificación de nudos topológicos sigue siendo pues un problema abierto.

¿Para qué sirven los nudos?

Fue Jones el primero en observar que había una estrecha relación entre la mecánica estadística, rama de la física que estudia la naturaleza de los gases y líquidos como grandes conjuntos de átomos, y los polinomios asociados a los nudos. Más tarde, Louis H. Kaufmann encontró una interpretación del polinomio de Jones en términos de una función de estado, algo que se ciñe a la mecánica estadística, inaugurando así una nueva vertiente en la teoría de nudos que recibe el nombre de Teoría Combinatoria de Nudos. Esta aplicación de la Física a las Matemáticas ha sido relevante en el sentido de que invierte el proceso histórico en el que siempre son las Matemáticas las que proveen a la Física de su armazón lógico.

Actualmente la teoría de nudos encuentra aplicaciones en áreas tan diversas como el análisis de circuitos eléctricos o la criptografía. Ha mostrado ser también de gran utilidad en la modelización de la física de polímeros y de cristales líquidos y, en general, en todas aquellas situaciones en las que aparezcan anudaciones entre redes o mallas. Y en otro orden de cosas, aunque circunscrito también al campo de la física, existen actualmente grandes expectativas de que la Teoría de Nudos provea a la Teoría Física de Cuerdas del complemento necesario para dar una descripción unificada de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza: gravedad, electromagnetismo y las interacciones fuertes y débiles entre partículas. El dato curioso es que a finales del siglo XIX, William Thomson, más conocido como Lord Kelvin, construyó una teoría según la cual la materia estaba formada por vórtices que se enlazaban y anudaban en un medio fluido llamado éter. Un siglo después la teoría se rescata en el escenario de la mecánica cuántica, en la que nudos y cuerdas son también el origen de la materia.

Pero quizás la más importante aplicación de la Teoría de Nudos a otras ciencias es la que tiene lugar en el dominio de la biología molecular. Algo que en el fondo no debería sorprendernos, ya que si pensamos en la posibilidad de ubicar algo que mide un metro de largo en un espacio de unas cinco millonésimas de metro vamos a tener que enrollar, apretar y entrecruzar este objeto para que pueda caber en un espacio tan pequeño. Esto es lo que sucede con una molécula de ADN humano. No es de extrañar pues que aparezcan nudos en las estructuras de doble hélice del material genético y que la topología de nudos se haya convertido en una herramienta imprescindible en esta área de investigación.

Vale la pena también mencionar, aunque sea a título de curiosidad, una aplicación de la Teoría de Nudos que, a pesar de su abrumadora cantidad de detractores, tiene todavía adeptos incondicionales. A mediados de los años 70, Jacques-Marie Émile Lacan (1901-1981), psiquiatra y psicoanalista francés, quedo subyugado después de una conversación con un joven matemático francés (Valérie Marchand) por los llamados Anillos de Borromeo (explicados más adelante). A partir de ese momento Lacan estableció intensos contactos con otros matemáticos que le introdujeron en la teoría de nudos, iniciando así una larga aventura que desembocaría en la conjunción entre Topología y Psicoanálisis. Actualmente todavía pueden encontrarse seminarios para introducir a los psicoanalistas en los secretos de los nudos topológicos, en los que se tratan situaciones para explicar cómo la teoría de nudos puede "demostrar la inconsistencia del borde que define al otro y el goce fálico", lo que pone de manifiesto que los matemáticos no son los únicos que utilizan lenguajes herméticos.

Borromeo

Los Anillos de Borromeo son tres anillos entrelazados de forma tal que ningún par de ellos está enlazado pero que, sin embargo, es imposible separarlos.

Se trata de un entrelazado de tres nudos triviales (tres circunferencias o, más en general, tres curvas cerradas sin anudamientos). Es un símbolo que se puede encontrar en algunas empresas como logotipo, ya que representa la fuerza de cohesión de un grupo: solo que se corte uno de los anillos toda la figura queda desenlazada. Su nombre se remonta a una familia de príncipes italianos del Renacimiento que lo adoptaron como escudo de armas.